【题目】已知斜率存在且不为0的直线过点
,设直线
与椭圆
交于
两点,椭圆
的左顶点为
.
(1)若的面积为
,求直线
的方程;
(2)若直线分别交直线
于点
,且
,记直线
的斜率分别为
.探究:
是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1)或
. (2)是,定值为
【解析】
(1)设,
,设直线
,根据题意求出
,由
求出
, 联立直线方程与椭圆方程,利用韦达定理求出
即可;
(2)设直线的方程为:
与椭圆方程联立得到关于
的一元二次方程,设
,
,利用韦达定理求出
,利用点斜式求出直线
的方程,进而求出点
坐标,利用平面向量坐标表示求出
的表达式,代入斜率公式求出直线
的斜率即可求解.
(1)设,
,
因为,椭圆
的左顶点为
,所以
,
故,
故,
设直线,代入椭圆
的方程中,整理得
,
所以,
,
故,
解得,
,
故直线的方程为
或
.
(2)由题意得,设直线的方程为:
,
与椭圆方程联立可得,
整理得,
设,
,
则①,
②,
又,所以直线
的方程为
,
令,解得
,
同理可得,,设
,
所以,
因为,所以
,
,
将①②代入上式并化简可得,
所以直线的斜率为
,
故,为定值.
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【题目】已知椭圆的焦距为2,过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的右焦点为,定点
,过点
且斜率不为零的直线
与椭圆交于
,
两点,以线段
为直径的圆与直线
的另一个交点为
,试探究在
轴上是否存在一定点
,使直线
恒过该定点,若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
为参数且
,
,
,曲线
的参数方程为
为参数),以
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求的普通方程及
的直角坐标方程;
(2)若曲线与曲线
分别交于点
,
,求
的最大值.
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【题目】如图①:在平行四边形中,
,
,将
沿对角线
折起,使
,连结
,得到如图②所示三棱锥
.
(1)证明:平面
;
(2)若,二面角
的平面角的正切值为
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
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【题目】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,卷一《方田》中有如下两个问题:
[三三]今有宛田,下周三十步,径十六步.问为田几何?
[三四]又有宛田,下周九十九步,径五十一步.问为田几何?
翻译为:[三三]现有扇形田,弧长30步,直径长16步.问这块田面积是多少?
[三四]又有一扇形田,弧长99步,直径长51步.问这块田面积是多少?
则下列说法正确的是( )
A.问题[三三]中扇形的面积为240平方步B.问题[三四]中扇形的面积为平方步
C.问题[三三]中扇形的面积为60平方步D.问题[三四]中扇形的面积为平方步
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【题目】
在某次考试中,从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析,两个班成绩的茎叶图如图所示,成绩不小于90分的为及格.
(1)用样本估计总体,请根据茎叶图对甲乙两个班级的成绩进行比较.
(2)求从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人,已知有人及格的条件下乙班同学不及格的概率;
(3)从甲班10人中抽取一人,乙班10人中抽取二人,三人中及格人数记为X,求X的分布列和期望.
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【题目】某市劳动部门坚持就业优先,采取多项措施加快发展新兴产业,服务经济,带来大量就业岗位,据政府工作报告显示,截至2018年末,全市城镇新增就业21.9万人,创历史新高.城镇登记失业率为4.2%,比上年度下降0.73个百分点,处于近20年来的最低水平.
(1)现从该城镇适龄人群中抽取100人,得到如下列联表:
失业 | 就业 | 合计 | |
男 | 3 | 62 | 65 |
女 | 2 | 33 | 35 |
合计 | 5 | 95 | 100 |
根据联表判断是否有99%的把握认为失业与性别有关?
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
(2)调查显示,新增就业人群中,新兴业态,民营经济,大型国企对就业支撑作用不断增强,其岗位比例为,现从全市新增就业人群(数目较大)中抽取4人,记抽到的新兴业态的就业人数为X,求X的分布列和数学期望.
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