Question

16．“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件．
（1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X，求X的分布列及数学期望；
（2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）随机变量X的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，可求X的分布列及数学期望；
（2）合格机器人的件数可能是0，1，2，3，相应的不合格机器人的件数为3，2，1，0．所以ξ的可能取值为1，3，求出相应的概率，可求ξ的分布列及数学期望．

解答 解：（1）随机变量X的可能取值为0，1，2           …（1分）；
P（X=0）=$\frac{{C}_{5}^{0}{C}_{15}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{21}{38}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{15}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{15}{38}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{15}^{0}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{1}{19}$，
所以随机变量X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{21}{38}$	$\frac{15}{38}$	$\frac{1}{19}$

…（5分）；
∴E（X）=0×$\frac{21}{38}$+1×$\frac{15}{38}$+2×$\frac{1}{19}$=$\frac{1}{2}$．…（6分）；
（2）合格机器人的件数可能是0，1，2，3，相应的不合格机器人的件数为3，2，1，0．
所以ξ的可能取值为1，3                                                 …（8分）；
由题意知：$P（ξ=1）=C_3^1{（\frac{3}{4}）^1}{（\frac{1}{4}）^2}+C_3^2{（\frac{3}{4}）^2}{（\frac{1}{4}）^1}=\frac{9}{16}$…（9分）；
P（ξ=3）=${C}_{3}^{0}•（\frac{3}{4}）^{0}•（\frac{1}{4}）^{3}$+${C}_{3}^{3}•（\frac{3}{4}）^{3}•（\frac{1}{4}）^{0}$=$\frac{7}{16}$              …（10分）；
所以随机变量ξ的分布列为：

ξ	1	3
P	$\frac{9}{16}$	$\frac{7}{16}$

…（11分）；
∴$Eξ=1×\frac{9}{16}+3×\frac{7}{16}=\frac{15}{8}$…（12分）；

点评 本题考查随机变量的分布列及数学期望，考查学生的计算能力，确定变量的取值与相应的概率是关键．