Question

如图1­1所示，三棱柱ABC ­ A₁B₁C₁中，点A₁在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC₁＝2.

(1)证明：AC₁⊥A₁B;

(2)设直线AA₁与平面BCC₁B₁的距离为，求二面角A₁ ­ AB ­ C的大小．

Answer 1

解：方法一：(1)证明：因为A₁D⊥平面ABC，A₁D⊂平面AA₁C₁C，故平面AA₁C₁C⊥平面ABC.

又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA₁C₁C.

连接A₁C，因为侧面AA₁C₁C为菱形，故AC₁⊥A₁C.

由三垂线定理得AC₁⊥A₁B.

(2)BC⊥平面AA₁C₁C，BC⊂平面BCC₁B₁，故平面AA₁C₁C⊥平面BCC₁B₁.

作A₁E⊥CC₁，E为垂足，则A₁E⊥平面BCC₁B₁.

又直线AA₁∥平面BCC₁B₁，因而A₁E为直线AA₁与平面BCC₁B₁的距离，

即A₁E＝.

因为A₁C为∠ACC₁的平分线，

所以A₁D＝A₁E＝.

作DF⊥AB，F为垂足，连接A₁F.

由三垂线定理得A₁F⊥AB，故∠A₁FD为二面角A₁ ­ AB ­ C的平面角．

由AD＝＝1，得D为AC中点，

DF＝，tan∠A₁FD＝＝，所以cos∠A₁FD＝.

所以二面角A₁ ­ AB ­ C的大小为arccos.

方法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C ­ xyz.由题设知A₁D与z轴平行，z轴在平面AA₁C₁C内．

(1)证明：设A₁(a，0，c)．由题设有a≤2，A(2，0，0)，B(0，1，0)，则＝(－2，1，0)，＝(－2，0，0)，＝(a－2，0，c)，＝＋＝(a－4，0，c)，＝(a，－1，c)．由||＝2，得＝2，即a²－4a＋c²＝0.①

又·＝a²－4a＋c²＝0，所以AC₁⊥A₁B .

(2)设平面BCC₁B₁的法向量m＝(x，y，z)，则m⊥，m⊥，即m·＝0，m·＝0.因为＝(0，1，0)，＝＝(a－2，0，c)，所以y＝0且(a－2)x＋cz＝0.

令x＝c，则z＝2－a，所以m＝(c，0，2－a)，故点A到平面BCC₁B₁的距离为||·|cos〈m，〉|＝＝＝c.

又依题设，A到平面BCC₁B₁的距离为，

所以c＝，

代入①，解得a＝3(舍去)或a＝1，

于是＝(－1，0，)．

设平面ABA₁的法向量n＝(p，q，r)，

则n⊥，n⊥，即n·＝0，n·＝0，

－p＋r＝0，且－2p＋q＝0.

令p＝，则q＝2 ，r＝1，所以n＝(，2 ，1)．

又p＝(0，0，1)为平面ABC的法向量，故

cos〈n，p〉＝＝.

所以二面角A₁ ­ AB ­ C的大小为arccos.