Question

16．已知x+y=12，xy=32，且x＞y，求$\frac{{x}^{\frac{1}{2}}-{y}^{\frac{1}{2}}}{{x}^{\frac{1}{2}}+{y}^{\frac{1}{2}}}$+$\frac{{x}^{\frac{4}{3}}-8{x}^{\frac{4}{3}}y}{{x}^{\frac{2}{3}}+2\root{3}{xy}+4{y}^{\frac{2}{3}}}$÷（1-2$\root{3}{\frac{y}{x}}$）．

Answer 1

分析 由题意求出x、y的值，分别代入$\frac{{x}^{\frac{1}{2}}-{y}^{\frac{1}{2}}}{{x}^{\frac{1}{2}}+{y}^{\frac{1}{2}}}$和$\frac{{x}^{\frac{4}{3}}-8{x}^{\frac{4}{3}}y}{{x}^{\frac{2}{3}}+2\root{3}{xy}+4{y}^{\frac{2}{3}}}÷（1-2\root{3}{\frac{y}{x}}）$，利用分数指数幂的运算法则化简求值即可．

解答 解：由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{x+y=12}\\{xy=32}\\{x＞y}\end{array}\right.$，解得x=8、y=4，
所以$\frac{{x}^{\frac{1}{2}}-{y}^{\frac{1}{2}}}{{x}^{\frac{1}{2}}+{y}^{\frac{1}{2}}}$=$\frac{{（x}^{\frac{1}{2}}-{y}^{\frac{1}{2}}）^{2}}{x-y}$=$\frac{x-2\sqrt{xy}+y}{x-y}$=$3-2\sqrt{2}$，
$\frac{{x}^{\frac{4}{3}}-8{x}^{\frac{4}{3}}y}{{x}^{\frac{2}{3}}+2\root{3}{xy}+4{y}^{\frac{2}{3}}}÷（1-2\root{3}{\frac{y}{x}}）$=$\frac{{2}^{4}-32•{2}^{4}}{{2}^{2}+2•\root{3}{32}+4\root{3}{16}}$÷（1-2•$\frac{1}{\root{3}{2}}$）
=$\frac{-31•{2}^{4}}{{2}^{2}+4\root{3}{4}+8\root{3}{2}}$×$\frac{1}{1-\root{3}{4}}$
=$\frac{-31•{2}^{4}}{{2}^{2}+4\root{3}{4}+8\root{3}{2}-（4\root{3}{4}+8\root{3}{2}+16）}$=$\frac{124}{3}$，
所以式子=$3-2\sqrt{2}$+$\frac{124}{3}$=$\frac{133}{3}-2\sqrt{2}$．

点评 本题考查分数指数幂的运算法则，以及化简、计算能力，属于中档题．