Question

7．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB⊥BC，BC⊥CD，点E是线段AB上的一点，DE⊥平面PAB，△ADE，为等腰直角三角形，DE=1，PE=2，AB=4，PA=$\sqrt{5}$．
（1）求证：PE⊥平面ABCD；
（2）若点Q是侧棱PC上的一点，且四面体BCDQ与四面体ADEP的体积相等，求二面角C-BD-Q的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出DE⊥PE，PE⊥AE，由此能证明PE⊥平面ABCD．
（2）推导出QC=$\frac{1}{3}$PC，以E为原点，ED为x轴，EA为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-BD-Q的余弦值．

解答 证明：（1）∵DE⊥平面PAB，PE?平面PAB，
∴DE⊥PE，
∵△ADE为等腰直角三角形，DE=1，PE=2，PA=$\sqrt{5}$，
∴AE=2，∴AE²+PE²=PA²，∴PE⊥AE，
∵AE∩DE=E，∴PE⊥平面ABCD．
解：（2）∵AB=4，点Q是侧棱PC上的一点，
且四面体BCDQ与四面体ADEP的体积相等，
∴QC=$\frac{1}{3}$PC，
以E为原点，ED为x轴，EA为y轴，EP为z轴，
建立空间直角坐标系，
B（0，-3，0），D（1，0，0），C（1，-3，0），
P（0，0，2），设Q（a，b，c），
则$\overrightarrow{QC}$=（1-a，-3-b，-c）=$\frac{1}{3}\overrightarrow{PC}$=$\frac{1}{3}$（1，-3，-2）=（$\frac{1}{3}，-1，-\frac{2}{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-a=\frac{1}{3}}\\{-3-b=-1}\\{-c=-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，∴Q（$\frac{2}{3}$，-2，$\frac{2}{3}$），
$\overrightarrow{DB}$=（-1，-3，0），$\overrightarrow{DQ}$=（-$\frac{1}{3}，-2，\frac{2}{3}$），
设平面BDQ的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=-x-3y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DQ}=-\frac{1}{3}x-2y+\frac{2}{3}z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-3，1，$\frac{3}{2}$），
平面BDC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角C-BD-Q的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{\frac{49}{4}}}$=$\frac{3}{7}$．
∴二面角C-BD-Q的余弦值为$\frac{3}{7}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．