Question

18．已知双曲线C与椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1共焦点，且它们的离心率之和为$\frac{24}{5}$，求双曲线C的标准方程及其渐进线方程．

Answer 1

分析 由椭圆方程求得焦点坐标及离心率，即可求得双曲线的离心率，设双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），则c=4，即可求得a，由b²=c²-a²=15，即可求得双曲线C的标准方程及其渐进线方程．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦点为（±4，0），a=5，b=3，c=4，
离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{5}$，…（2分）
∴双曲线C的焦点为（±4，0），离心率为e=$\frac{24}{5}$-$\frac{4}{5}$=4，…（4分）
设双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），则c=4，
e=$\frac{c}{a}$=4，
∴a=1，则b²=c²-a²=15，
故双曲线C：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{15}=1$，…（8分）
其渐进线方程为：y=$\sqrt{15}$x或y=-$\sqrt{15}$x．…（12分）

点评 本题考查椭圆及双曲线标准方程及简单几何性质，考查双曲线的渐近线方程，考查计算能力，属于中档题．