Question

6．已知函数y=Asin（ωx+φ），（A＞0，|φ|＜π，ω＞0）的一段图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）求这个函数的周期和递增区间；
（3）说明该函数的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到．

Answer 1

分析 （1）由图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，通过图象经过（$\frac{π}{6}$，2），求出φ，从而得到f（x）的解析式．
（2）由（1）可得函数的周期T，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得单调递增区间．
（3）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

解答 解：（1）∵由函数的图象可得A=2，T=2×（$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=π=$\frac{2π}{ω}$，
∴解得ω=2．
∵图象经过（$\frac{π}{6}$，2），可得：2=2sin（2×$\frac{π}{6}$+φ），
∴可得：2×$\frac{π}{6}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∵|φ|＜π，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
故函数的解析式为：y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）由（1）可得函数的周期T=2×（$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=π，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
可得单调递增区间为：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（3）把y=sinx的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，可得函数y=sin（x+$\frac{π}{6}$）的图象；
再把所得图象上点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍，可得函数y=sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象；
再把所得图象上的点的纵坐标变为原来的2倍，可得函数y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，注意函数的周期的求法，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．