Question

9．过函数f（x）=$\sqrt{4-{x}^{2}}$的图象上一点作切线l，l与x轴、y轴的交点分别为A、B，则|AB|的最小值为4．

Answer 1

分析 设A（a，0），B（0，b），则直线l的方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1，运用直线和圆相切的条件：d=r，再由基本不等式，即可得到最小值．

解答 解：f（x）的图象是半圆x²+y²=4（y≥0），
设A（a，0），B（0，b），则直线l的方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1，
因为直线l与半圆x²+y²=4（y≥0）相切，
所以圆心到直线l的距离为$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}}}$=2，即4（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$）=1，
于是a²+b²=4（a²+b²）（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$）≥4•2|ab|•2|$\frac{1}{ab}$|=16，
则|AB|=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$≥4，a=b时取最小值4．
故答案为：4．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，主要考查直线和圆相切的条件：d=r，考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．