Question

14．若函数f（x）=lnx-2ax在点（1，f（1））处的切线为l，且直线l与圆（x+1）²+y²=1相切，则a的值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，再由直线和圆相切的条件：d=r，解方程可得a的值．

解答 解：函数f（x）=lnx-2ax的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$-2a，
在点（1，f（1））处的切线斜率为k=1-2a，
切点为（1，-2a），
即有在点（1，f（1））处的切线方程为y+2a=（1-2a）（x-1），
即为（1-2a）x-y-1=0．
直线l与圆（x+1）²+y²=1相切，可得
$\frac{|-1|}{\sqrt{1+（1-2a）^{2}}}$=1，
解得a=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线和圆相切的条件：d=r，考查运算能力，属于中档题．