为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会 .上海某旅游公司面向国内外发行一定数量的旅游优惠卡.其中向境外人士发行的是世博金卡.向境内人士发行的是世博银卡．现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游.其中27名境外游客.其余是境内游客．在境外游客中有$\frac{1}{3}$持金卡.在境内游客中有$\frac{2}{3}$持银卡．� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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19．为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行一定数量的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）．现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中27名境外游客，其余是境内游客．在境外游客中有$\frac{1}{3}$持金卡，在境内游客中有$\frac{2}{3}$持银卡．．
（Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡，至多1人持银卡的概率；
（Ⅱ）在该团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

分析（I）由题意得，境外游客中有9人持金卡；境内游客共有9人，其中6人持银卡；旅游团中共有21人不持卡，由此利用互斥事件概率加法公式能求出在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡，至多1人持银卡的概率．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望Eξ．

解答解：（I）由题意得，境外游客中有9人持金卡；境内游客共有9人，其中6人持银卡；
旅游团中共有21人不持卡．…（1分）
设“所采访的3人中，恰有1人持金卡，至多1人持银卡”为事件A，
“所采访的3人中，恰有1人持金卡，0人持银卡”为事件B₁，
“所采访的3人中，恰有1人持金卡，1人持银卡”为事件B₂．
则P（A）=P（B₁）+P（B₂）=$\frac{{C}_{9}^{1}{C}_{21}^{2}}{{C}_{36}^{3}}+\frac{{C}_{9}^{1}{C}_{6}^{1}{C}_{21}^{1}}{{C}_{36}^{3}}$=$\frac{36}{85}$，…（5分）
∴在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡，至多1人持银卡的概率是$\frac{36}{85}$．…（6分）
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{1}{84}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{3}{14}$．
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{15}{28}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{5}{21}$，（每个1分）　…（10分）
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{84}$	$\frac{3}{14}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{5}{21}$

…（11分）
∴Eξ=$0×\frac{1}{84}+1×\frac{3}{14}+2×\frac{15}{28}+3×\frac{5}{21}$=2．…（13分）

点评本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．

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