Question

2．在抛物线y=x²与直线y=2围成的封闭图形内任取一点A，O为坐标原点，则直线OA被该封闭图形解得的线段长小于$\sqrt{2}$的概率是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{15}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{16}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{16}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{14}$

Answer 1

分析 欲求直线OA被该封闭图形解得的线段长小于$\sqrt{2}$的概率，利用几何概型解决，只须利用定积分求出阴影图的面积，最后利用它们的面积比求得即可概率．

解答 解：抛物线y=x²与直线y=2所围成的面积为
S_阴影=${∫}_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$（2-x²）dx=（2x-$\frac{1}{3}$x³）|${\;}_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
以O为原点，$\sqrt{2}$为半径的圆与抛物线y=x²分别交于B，C两点，
则OB=OC=$\sqrt{2}$，圆O的方程为x²+y²=2，
故A点只有在红色区域内时，
直线OA被直线OA被该封闭图形解得的线段长小于$\sqrt{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴B（-1，1），C（1，1），
∴直线OB，OC的解析式分别为y=-x或y=x，
∴红色区域面积S_红=${∫}_{-1}^{0}（-x-{x}^{2}）dx$+${∫}_{0}^{1}$（x-x²）dx=（-$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{3}$）|${\;}_{-1}^{0}$+（$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{3}$）|${\;}_{0}^{1}$=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$，
∴直线OA被该封闭图形解得的线段长小于$\sqrt{2}$的概率P=$\frac{{S}_{红}}{{S}_{阴影}}$=$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{8\sqrt{2}}{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{16}$，
故选：C

点评 本题考查了利用定积分求面积以及几何摡型知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．