Question

8．如图，A，B，C，D四点共圆，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．
（1）若EA=2ED，EB=3EC，求$\frac{AB}{CD}$的值；
（2）若EF∥CD，求证：线段FA，FE，FB成等比数列．

Answer 1

分析 （1）根据圆内接四边形的性质，可得∠CDE=∠ABE，∠DEC=∠BEA，从而△ABE∽△CDE，所以有$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{AE}{CE}$，利用比例的性质可得$\frac{AB}{CD}$的值；
（2）由EF∥CD，得∠AEF=∠CDE，∠AEF=∠EBF，结合公共角可得△BEF∽△EAF，于是$\frac{FA}{FE}$=$\frac{FE}{FB}$，即可证明结论．

解答 （1）解：由A，B，C，D四点共圆，得∠CDE=∠ABE，
又∠DEC=∠BEA，∴△ABE∽△CDE，于是$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{AE}{CE}$．①
设DE=a，CE=b，则由$\frac{BE}{DE}$=$\frac{AE}{CE}$，得3b²=2a²，即b=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$a
代入①，得$\frac{AB}{CD}$=$\frac{3b}{a}$=$\sqrt{6}$．（5分）
（2）证明：由EF∥CD，得∠AEF=∠CDE．
∵∠CDE=∠ABE，∴∠AEF=∠EBF．
又∠BFE=∠EFA，
∴△BEF∽△EAF，于是$\frac{FA}{FE}$=$\frac{FE}{FB}$，
故FA，FE，FB成等比数列．（10分）

点评 本题在圆内接四边形的条件下，一方面证明线段FA，FE，FB成等比数列，另一方面求线段的比值．着重考查了圆中的比例线段、圆内接四边形的性质和相似三角形的判定与性质等知识点，属于中档题．