Question

若对于任意x∈（-2，2）都有2^x（x-a）＜1成立，则a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-6）
• B、（

  7

  4

  ，+∞）
• C、[

  7

  4

  ，+∞）
• D、（-6，+∞）

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：将不等式恒成立变形为a＞x-

1

2x

对于任意x∈（-2，2）恒成立，利用导数研究函数f（x）=x-

1

2x

的单调性，从而得到f（x）的取值范围，即可求得实数a的取值范围．

解答： 解：∵2^x（x-a）＜1对于任意x∈（-2，2）恒成立，
∵2^x＞0，
∴2^x（x-a）＜1对于任意x∈（-2，2）恒成立等价于a＞x-

1

2x

对于任意x∈（-2，2）恒成立，
令f（x）=x-

1

2x

，则f′（x）=1+

ln2

2x

＞0在（-2，2）上恒成立，
故函数f（x）在（-2，2）上为单调递增函数，
∴f（x）＜f（2）=

7

4

，
∴a≥

7

4

＞f（x），
∴a的取值范围是[

7

4

，+∞）．
故选：C．

点评：本题考查了恒成立问题，对于不等式恒成立问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．考查了运用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．属于中档题．