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在直角坐标系内,点实施变换后,对应点为,给出以下命题:
①圆上任意一点实施变换后,对应点的轨迹仍是圆
②若直线上每一点实施变换后,对应点的轨迹方程仍是
③椭圆上每一点实施变换后,对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆;
④曲线上每一点实施变换后,对应点的轨迹是曲线是曲线上的任意一点,是曲线上的任意一点,则的最小值为
以上正确命题的序号是                  (写出全部正确命题的序号).
①③④

试题分析:由题意点实施变换后,对应点为,对应曲线来说,就是求曲线关于直线的对应曲线,对于①,因为圆的圆心在直线上,所以圆上任意一点实施变换后,对应点的轨迹仍是圆,所以①正确;
对于②,直线关于直线对称的曲线方程为,而直线上每一点实施变换后,对应点的轨迹方程仍是,所以,解得,或,所以②不正确;
对于③,椭圆上的每一点实施后,对应的轨迹方程为,对应的离心率不变,故③正确;对于④,令,易求得时,为减函数,当时,为增函数,所以,由对称性可知,曲线上的点与其关于直线的对称曲线上的点的最小值为,所以④正确;
故答案为①③④.
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