Question

17．已知函数f（x+2）是偶函数，且当x＞2时满足xf′（x）＞2f′（x）+f（x），则（　　）

• A． 2f（1）＜f（4）
• B． 2f（$\frac{3}{2}$）＜f（4）
• C． f（0）＜4f（$\frac{5}{2}$）
• D． f（1）＜f（3）

Answer 1

分析 根据条件，构造函数h（x）=$\frac{f（x）}{x-2}$，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．

解答 解：由xf′（x）＞2f′（x）+f（x），
得（x-2）f′（x）-f（x）＞0，
设h（x）=$\frac{f（x）}{x-2}$，则h′（x）=$\frac{（x-2）f′（x）-f（x）}{（x-2）^{2}}$，
∵（x-2）f′（x）-f（x）＞0，
∴当x＞2时，h′（x）＞0，此时函数单调递增．
∵f（x+2）是偶函数，∴f（x+2）关于x=0对称，
即f（x）关于x=2对称，
即f（1）=f（3），故D错误，
f（$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{5}{2}$），f（0）=f（4），
则h（$\frac{5}{2}$）＜h（4），即$\frac{f（\frac{5}{2}）}{\frac{5}{2}-2}$＜$\frac{f（4）}{4-2}$，即4f（$\frac{5}{2}$）＜f（4），即4f（$\frac{5}{2}$）＜f（0），即故C错误，
同时4f（$\frac{5}{2}$）=4f（$\frac{3}{2}$）＜f（4），
由h（3）＜h（4），得$\frac{f（3）}{3-2}$＜$\frac{f（4）}{4-2}$，即2f（3）＜（4），
即2f（1）＜（4），
故选：A．

点评 本题主要考查导数的应用，根据不等式关系构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．