Question

8．直线l：y=k（x+1）与抛物线y²=x只有一个公共点，则实数k的值为0或±$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 当斜率k=0时，直线l：y=0，与抛物线y²=4x仅有一个公共点，当斜率不等于0时，把l：y=k（x+1）代入抛物线的方程化简，由判别式△=0求得实数k的值．

解答 解：当斜率k=0时，直线l：y=0，与抛物线y²=4x仅有一个公共点．
当斜率不等于0时，把l：y=k（x+1）代入抛物线y²=4x得k²x²+（2k²-1）x+k²=0，
由题意可得，此方程有唯一解，
故判别式△=（2k²-1）²-4k⁴=0，∴k=±$\frac{1}{2}$，
故答案为：0或±$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程有唯一解的条件，体现了分类讨论的数学思想．