Question

8．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≥0}\\{-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，则不等式f（3x²+a）＞4f（x）对x∈R恒成立，则a的取值范围是（$\frac{1}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 判断函数的单调性利用函数的单调性进行求解即可．

解答 解：当x≥0时，f（x）=x²，此时函数为增函数，且f（x）=x²≥0，
当x＜0时，f（x）=-x²，此时函数为增函数，且f（x）=-x²＜0，
综上函数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，
则不等式f（3x²+a）＞4f（x）对x∈R恒成立等价为f（3x²+a）＞f（2x），
即3x²+a＞2x，
即a＞-3x²+2x，
设g（x）=-3x²+2x，
则g（x）=-3x²+2x=-3（x-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{1}{3}$≤$\frac{1}{3}$，
则a＞$\frac{1}{3}$，
故答案为：（$\frac{1}{3}$，+∞）

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，根据分段函数判断函数的单调性，利用参数分离法是解决本题的关键．