Question

20．已知数列{a_n}的首项a₁=1．
（1）若a_n+1=a_n+n+1，则a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$；
（2）若a_n+1=2ⁿ•a_n，则a_n=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$；
（3）若a_n=3a_n-1+3ⁿ（n≥2），则a_n=$（n-\frac{2}{3}）•{3}^{n}$．

Answer 1

分析 （1）把已知数列递推式变形，利用累加法求得数列的通项公式；
（2）把已知数列递推式变形，利用累积法求得数列的通项公式；
（3）把已知递推式两边同时除以3ⁿ，然后得到数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}是以$\frac{{a}_{1}}{3}=\frac{1}{3}$为首项，以1为公差的等差数列，由此求得数列{a_n}的通项公式．

解答 解：（1）由a_n+1=a_n+n+1，得a_n+1-a_n=n+1，又a₁=1，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=n+（n-1）+（n-2）+…+1=$\frac{n（n+1）}{2}$；
（2）由a_n+1=2ⁿ•a_n，得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}={2}^{n}$，又a₁=1，
∴${a}_{n}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}…\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•{a}_{1}$
=2^n-1•2^n-2…2=2^{1+2+…+（n-1）}=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$；
（3）由a_n=3a_n-1+3ⁿ（n≥2），
得$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}=\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}+1$，即$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}=1$（n≥2），
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}是以$\frac{{a}_{1}}{3}=\frac{1}{3}$为首项，以1为公差的等差数列，
则$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}=\frac{1}{3}+1×（n-1）=n-\frac{2}{3}$，
∴${a}_{n}=（n-\frac{2}{3}）•{3}^{n}$．
故答案为：（1）$\frac{n（n+1）}{2}$；（2）${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$；（3）$（n-\frac{2}{3}）•{3}^{n}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了累加法、累积法及构造等差数列求数列的通项公式，是中档题．