Question

11．已知△ABC中，$\frac{{a}^{3}+{b}^{3}-{c}^{3}}{a+b-c}$=c²，且acosB=bcosA．试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 利用正弦定理化简bcosA=acosB，得sinBcosA=sinAcosB，由两角差的正弦函数公式可得sin（A-B）=0，从而解得A=B，又由$\frac{{a}^{3}+{b}^{3}-{c}^{3}}{a+b-c}$=c²，化简可得（a+b）（a²+b²-ab）=（a+b）c²，即a²+b²-ab=c²，利用余弦定理可求cosC=$\frac{1}{2}$，结合范围C∈（0，π），可得：C=$\frac{π}{3}$，从而解得三角形形状为等边三角形．

解答 解：利用正弦定理化简bcosA=acosB，得：sinBcosA=sinAcosB，
∴sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）=0，
∴A-B=0，即A=B，可得：a=b，
又∵$\frac{{a}^{3}+{b}^{3}-{c}^{3}}{a+b-c}$=c²，
∴可得：a³+b³-c³=ac²+bc²-c³，
∴（a+b）（a²+b²-ab）=（a+b）c²，
∴a²+b²-ab=c²，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∴由C∈（0，π），可得：C=$\frac{π}{3}$，
∴可得：A=B=C=$\frac{π}{3}$．
则三角形形状为等边三角形．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的正弦函数公式，余弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．