Question

3．函数y=sin²x-3cos²x+2sinxcosx的值域为[-$\sqrt{5}$-1，$\sqrt{5}$-1]．

Answer 1

分析 根据三角函数的恒等变换，化简函数为y=Asin（ωx+φ）+b的形式，利用正弦函数的有界性求出函数y的值域．

解答 解：函数y=sin²x-3cos²x+2sinxcosx
=$\frac{1-cos2x}{2}$-$\frac{3（1+cos2x）}{2}$+sin2x
=sin2x-2cos2x-1
=$\sqrt{5}$sin（2x+θ）-1，其中tanθ=-2；
∵-1≤sin（2x+θ）≤1，
∴-$\sqrt{5}$-1≤$\sqrt{5}$sin（2x+θ）-1≤$\sqrt{5}$-1，
∴函数y的值域为[-$\sqrt{5}$-1，$\sqrt{5}$-1]．
故答案为：[-$\sqrt{5}$-1，$\sqrt{5}$-1]．

点评 本题考查了三角函数的化简与求值的应用问题，也考查了三角函数的有界性问题，是基础题目．