Question

8．已知第一象限内的点M既在双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上，又在抛物线C₂：y²=2px上，设C₁的左，右焦点分别为F₁、F₂，若C₂的焦点为F₂，且△MF₁F₂是以MF₁为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 1+$\sqrt{2}$
• D． 2+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据条件得到抛物线和双曲线的焦点相同，根据双曲线和抛物线的定义得到△MF₁F₂为等腰直角三角形，利用定义建立方程进行求解即可．

解答 解∵设C₁的左，右焦点分别为F₁、F₂，若C₂的焦点为F₂，
∴抛物线的准线方程为x=-c，
若△MF₁F₂是以MF₁为底边的等腰三角形，
由于点M也在抛物线上，
∴过M作MA垂直准线x=-c
则MA=MF₂=F₁F₂，
则四边形AMF₂F₁为正方形，
则△MF₁F₂为等腰直角三角形，
则MF₂=F₁F₂=2c，MF₁=$\sqrt{2}$MF₂=2$\sqrt{2}$c，
∵MF₁-MF₂=2a，
∴2$\sqrt{2}$c-2c=2a，
则（$\sqrt{2}$-1）c=a，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$=1+$\sqrt{2}$，
故选：C

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据双曲线和抛物线的定义得到△MF₁F₂为等腰直角三角形是解决本题的关键．考查学生的转化和推理能力．