Question

20．已知a＞0，b＞0，b为常数，函数f（x）=ax-bx²．
（I）若对x∈R都有f（x）≤1，且当x∈[0，1]时，f（x）为单调函数，证明：b≤1；
（Ⅱ）若对任意x∈[0，1]，都|f（x）|≤1，求a的范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由开口方向和最大值，可得a，b的关系，由区间内单调，可得a，b关系，两者结合得到范围．
（Ⅱ）对对称轴进行分类讨论，由此得到最值的绝对值小于等于1，得到a的范围．

解答 解：（Ⅰ）f（$\frac{a}{2b}$）=1，∴$\frac{{a}^{2}}{4b}$=1，∴a=2$\sqrt{b}$，
又$\frac{a}{2b}$≥1，∴2b≤a，
∴2b≤2$\sqrt{b}$，∴b≤1，
（Ⅱ）①当$\frac{a}{b}$＞1时，f（$\frac{a}{2b}$）=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞b}\\{a=2\sqrt{b}}\end{array}\right.$，
∴a²=4b＜4a，
∴0＜a＜4；
②$\frac{a}{b}$＞1时，$\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{a}{2b}）=1}\\{f（1）≥-1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞b}\\{{a}^{2}=4b}\\{a-b≥-1}\end{array}\right.$，
∴a²=4b＜4a，
∴0＜a＜4，
∵b=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∴a-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥-1，∴a²-4a-4≤0，
∴2-2$\sqrt{2}$≤a≤2+2$\sqrt{2}$
综上所述，0＜a＜4．

点评 本题考查二次函数的图象和性质，主要有开口方向，对称轴，单调性和最值．