Question

10．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A，B，C依次成等差数列，且$b=\sqrt{3}$，求a+c的取值范围．

Answer 1

分析 由等差数列的性质，三角形内角和定理可得B，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得a+c=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），结合A的范围，利用正弦函数的图象和性质即可求a+c的取值范围．

解答 （本题满分为10分）
解：∵角A，B，C成等差数列，可得：2B=A+C，又A+B+C=3B=π，
∴$B=\frac{π}{3}$…（2分）
根据正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2$，
∴a=2sinA，c=2sinC，
∴$a+c=2sinA+2sinC=2sinA+2sin（A+\frac{π}{3}）$=$2（\frac{3}{2}sinA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA）=2\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{6}）$，…（6分）
又∵△ABC为锐角三角形，
则$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}，\frac{π}{3}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{2π}{3}$，…（8分）
∴$sin（A+\frac{π}{6}）∈（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1]$，
∴$a+c∈（3，2\sqrt{3}]$．…（10分）

点评 本题考查正弦定理，等差数列的性质，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．