Question

1．有三种卡片分别写有数字1，10，100，从上述三种卡片中选取若干张，使得这些卡片之和为m（m为正整数）．考虑不同的选法种数，例如m=11时有两种选法：“一张卡片写有1，另一张写有10”或“11张写有1的卡片”．
（1）若m=100，直接写出选法种数；
（2）设n为正整数，记所选卡片的数字和为100n的选法种数为a_n，当n≥2时，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）对100和10的卡片张数讨论得出答案；
（2）求出{a_n}的递推式，使用累加法得出a_n．

解答 解：（1）m=100时选法种数为12．
（2）由（1）知a₁=12，
当n≥2时，若至少选一张100的卡片，则除去一张100的卡片，其余数字之和为100（n-1），有a_n-1种选法，
若不选含有100的卡片，则有（10n+1）种选法．
∴a_n=a_n-1+10n+1，即a_n-a_n-1=10n+1，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=10n+1+10（n-1）+1+…+10×2+1+12
=$10•\frac{（n+2）（n-1）}{2}+n-1+12=5{n^2}+6n+1（n≥2）$．

点评 本题考查了数列的递推式，数列的通项公式的求法，属于中档题．