Question

如图，在四棱锥中，，，底面是菱形，且，为的中点．
（1）求四棱锥的体积；
（2）证明：平面；
（3）侧棱上是否存在点，使得平面？并证明你的结论．

Answer 1

为侧棱的中点时，平面

解:（1），

则有，，
， 又
底面，………………………(2分)
 ……………(4分) 
（2）证明： 是菱形，，，
为正三角形， 又为的中点，…………………(6分)
      
由，，，
平面          ……………………………………………………(8分)
（3）为侧棱的中点时，平面．    ……………………………(10分)
证法一：设为的中点，连，则是的中位线，
且，又且， 
且，四边形为平行四边形，
，平面，平面，
平面．                                ………………(12分)
证法二：设为的中点，连，则是的中位线，
，平面，平面，
平面．                                
同理，由，得平面．
又，平面平面，  
又平面，平面．  ……………………………(12分)