Question

15．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最高点D的坐标为（$\frac{π}{8}$，2），由最高点D运动到相邻最低点时，函数图形与x轴的交点的坐标为（$\frac{3π}{8}$，0）；
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）当x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]时，求函数f（x）的最大值和最小值以及分别取得最大值和最小值时相应的自变量x的值．
（3）若f（α）=$\frac{8}{5}$，α∈（0，$\frac{π}{8}$），求sin2α．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的最大值和最小值以及分别取得最大值和最小值时相应的自变量x的值．
（3）利用两角差的正弦公式，求得sin2α=sin[（2α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最高点D的坐标为（$\frac{π}{8}$，2），可得A=2．
∵由最高点D运动到相邻最低点时，函数图形与x轴的交点的坐标为（$\frac{3π}{8}$，0），可得$\frac{T}{4}$=$\frac{3π}{8}$-$\frac{π}{8}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{ω}$，∴ω=2．
再根据五点法作图可得2•$\frac{π}{8}$+φ=$\frac{π}{2}$，求得φ=$\frac{π}{4}$，∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
（2）当x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]时，2x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，故f（x）的最大值为2，此时，2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即 x=$\frac{π}{8}$．
f（x）的最小值为-$\sqrt{2}$，此时，2x+$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{4}$，即 x=-$\frac{π}{4}$．
（3）若f（α）=2sin（2α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{8}{5}$，则 sin（2α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{4}{5}$，∵α∈（0，$\frac{π}{8}$），∴cos（2α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，
∴sin2α=sin[（2α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=sin（2α+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$-cos（2α+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{4}{5}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{3}{5}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．