Question

19．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），点（0，b）到右焦点F的距离与它到直线l：x=4的距离比恰为离心率$\frac{1}{2}$，
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P（1，$\frac{3}{2}$），AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k₁，k₂，k₃，问：是否存在常数λ，使得k₁+k₂=λk₃？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意将点P （1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e=$\frac{1}{2}$，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；
（2）可先设出直线AB的方程为y=k（x-1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根与系数的关系求得x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x1x2=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，再求点M的坐标，分别表示出k₁，k₂，k₃．比较k₁+k₂=λk₃即可求得参数的值；

解答 解：（1）点（0，b）到右焦点F（c，0）的距离与它到直线l：x=4的距离比恰为离心率$\frac{1}{2}$，
可得：$\frac{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}{4}$=$\frac{1}{2}$，可得：b²+c²=4=a²，①
由离心率e=$\frac{1}{2}$，得$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c，则c=1，b=$\sqrt{3}$，
故椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x-1）③
代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，并整理得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x1x2=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$    ④
在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），
从而k1=$\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$，k2=$\frac{{y}_{2}-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$，k3=$\frac{3k-\frac{3}{2}}{4-1}$=k-$\frac{1}{2}$，
注意到A，F，B共线，则有k=k_AF=k_BF，即有$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$=k，
所以k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$-$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{{x}_{1}-1}$+$\frac{1}{{x}_{2}-1}$）
=2k-$\frac{3}{2}$×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2}{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$    ⑤
④代入⑤得k₁+k₂=2k-$\frac{3}{2}$×$\frac{\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}-2}{\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}-\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}+1}$=2k-1，
又k₃=k-$\frac{1}{2}$，所以k₁+k₂=2k₃
故存在常数λ=2符合题意．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力与探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能碸解答出．