Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）=0，|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，且|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=1，则|$\overrightarrow{c}$|的最大值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$+1
• B． 4
• C． $\sqrt{5}$+1
• D． 2

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角，做出向量$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{c}$的终点C在以E为圆心，以1位半径的圆上．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）=0，∴${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，即1+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$．
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=-$\frac{1}{2}$，∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为120°．
作向量$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，延长OB到D，使得$\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{b}$．
以OA，OD为邻边做平行四边形OAED，则$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$．设$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$．
∵|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=1，∴C在以E为圆心，以1位半径的圆上．
∵|OA|=1，|AE|=2，∠OAE=60°，
∴|OE|=$\sqrt{3}$，
∴|OC|的最大值为$\sqrt{3}+1$．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量线性运算的几何意义，平面向量的数量积运算，属于中档题．