Question

19．若（x²+$\frac{a}{2x}$）⁶展开式的常数项是15，图中阴影部分是由曲线y=x²和圆x²+y²=a及x轴围成的封闭图形，现向圆中投入一颗石子，则此石子恰好落在阴影部分的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{8}$-$\frac{1}{12π}$
• B． $\frac{1}{8}$+$\frac{1}{12π}$
• C． $\frac{1}{8}$
• D． $\frac{1}{12π}$

Answer 1

分析 首先通过二项式的展开式常数求出a，然后利用定积分求出封闭图形的面积，再由几何概型的几何意义求出概率．

解答 解：因为（x²+$\frac{a}{2x}$）⁶展开式的常数项是15，
所以${C}_{6}^{4}（\frac{a}{2}）^{4}$=15，解得a=2，
所以曲线y=x²和圆x²+y²=2的在第一象限的交点为（1，1）
所以阴影部分的面积为$\frac{π}{4}$-${∫}_{0}^{1}{（x-x}^{2}）dx$=$\frac{π}{4}$-（$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{3}$）|${\;}_{0}^{1}$=$\frac{π}{4}-\frac{1}{6}$．
所以石子恰好落在阴影部分的概率$\frac{\frac{π}{4}-\frac{1}{6}}{2π}=\frac{1}{8}-\frac{1}{12π}$；
故选：A

点评 本题考查了二项式定理以及定积分求阴影部分的面积以及几何概型的概率求法；属于中档题．