Question

如图，正三棱柱的平面展开图，各侧面都是正方形，在这个正三棱柱中：
①AB₁∥BC₁；
②AC₁与BC是异面直线；
③AB₁与BC所成的角的余弦值为

2

4

；
④BC₁与A₁C垂直．
其中正确的是（　　）

• A、①③
• B、②③
• C、②④
• D、②③④

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：将正三棱柱的平面展开图还原得到三棱柱的直观图，分析AB₁与BC₁的位置关系，可判断①；分析AC₁与BC的位置关系，可判断②；求出AB₁与BC所成的角的余弦值可判断③；利用向量法判断BC₁与A₁C的关系，可判断④．

解答： 解：正三棱柱的直观图如下图所示：

由图可知，AB₁与BC₁异面，故①错误；
AC₁与BC是异面直线，故②正确；
AB₁与BC所成的角，即为∠AB₁C₁，在△AB₁C₁中，AB₁=AC₁=

2

B₁C₁，由余弦定理得cos∠AB₁C₁=

AB 2 1 + B1C 2 1 -AC 2 1

2AB1•B1C1

=

2

4

，故③正确；
以A为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，设棱柱的各棱长为a，

则B（a，0，0），C（

a

2

，

3 a

2

，0），A₁（0，0，a），C₁（

a

2

，

3 a

2

，a），
则

BC1

=（-

a

2

，

3 a

2

，a），

A1C

=（

a

2

，

3 a

2

，-a），
∵

BC1

•

A1C

=-

a2

4

+

3a2

4

-a²≠0，
故BC₁与A₁C不垂直，故④错误，
故正确的命题有：②③
故选：B

点评：本题考查的知识点是棱柱的结构特征，空间线面关系的判定，异面直线的夹角，是立体几何综合考查，难度中档．