Question

【题目】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时f（x）= ．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的单调性（不必证明）；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（k﹣3t2）+f（t2+2t）≤0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵当x≥0时有 ，

∴当x≤0时，﹣x≥0，

∴ （x≤0），

∴

（2）

解：∵当x≥0时有 ，∴f（x）在[0，+∞）上是增函数

又∵f（x）是奇函数，∴f（x）是在（﹣∞，+∞）上是增函数

（注：只判断f（x）是在（﹣∞，+∞）上是增函数）

（3）

解：f（k﹣3t2）+f（t2+2t）≤0则f（t2+2t）≤﹣f（k﹣3t2）=f（3t2﹣k）

因f（x）为增函数，由上式推得，t2+2t≤3t2﹣k，∴2t2﹣2t﹣k≥0

即对一切t∈R恒有2t2﹣2t﹣k≥0

从而判别式△=4+8k≤0，∴

【解析】（1）依题意，当x≤0时，﹣x≥0，利用 ，可求得当x≤0时的函数表达式，从而可得f（x）的解析式；（2）当x≥0时，将函数 分离出常数2，利用反比例函数的单调性可判断出f（x）在[0，+∞）上是增函数，再利用奇函数的单调性质，可判断f（x）的单调性；（3）利用（2）可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，再利用奇函数的性质，将不等式f（k﹣3t2）+f（t2+2t）≤0转化为t2+2t≤3t2﹣k恒成立，利用判别式△=4+8k≤0即可求得k的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的单调性的相关知识，掌握注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种．