Question

【题目】已知直线l过点P(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，当取最大值时l的方程为____________．

Answer 1

【答案】

【解析】

由直线的点斜式方程，得直线l的方程为y－1＝k(x－2)，分别求出A，B点坐标，进而得到PA,PB的表达式，故，通过换元法将原式转化为二次式，进而求得,取得最值时k的值

由题意可知直线l的斜率k＜0，由直线的点斜式方程，得直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋1.令x＝0，代入方程得y＝－2k＋1，令y＝0，代入方程得x＝，

∴直线l与x轴，y轴的交点坐标分别是点A(，0 )，点B(0，－2k＋1)．

∴PA＝＝，PB＝，

.

令t＝，有 (4－t)k2－4k＋1－t＝0，

故Δ＝16－4(4－t)(1－t)≥0.

解得 0≤t≤5，故t＝5时，取最大值．

此时，解得k＝－2，直线l的方程为y＝－2x－2k＋1，

即2x＋y－5＝0，

故答案为：2x＋y－5＝0.