Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=a_n²+a_n，数列{b_n}满足b₁=1，2b_n-b_n-1=0（n≥2，n∈N ^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）n=1时，解得a₁=1，n≥2时，a_n-a_n-1=1，由此求出数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，从而a_n=1+n-1=n．
（2）由已知得{b_n}是首项为1，公比为

1

2

的等比数列，从而bn=(

1

2

)n-1．c_n=a_nb_n=n•(

1

2

)n-1，由此利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）n=1时，2S₁=2a1=a₁²+a₁，
a₁²-a₁=0，解得a₁=0（各项均为正数，舍去）或a₁=1，
n≥2时，
2S_n=a_n²+a_n，
2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，
2S_n-2S_n-1=2a_n=a_n²+a_n-a_n-1²-a_n-1
a_n²-a_n-1²-a_n-a_n-1=0
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）-（a_n+a_n-1）=0
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0
∵数列各项均为正，∴a_n-a_n-1=1，
∴数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列．
∴a_n=1+n-1=n．
（2）∵数列{b_n}满足b₁=1，2b_n-b_n-1=0（n≥2，n∈N ^*），
∴{b_n}是首项为1，公比为

1

2

的等比数列，
∴bn=(

1

2

)n-1．
∴c_n=a_nb_n=n•(

1

2

)n-1，
∴T_n=1+2×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n-1，①

1

2

T_n=

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n•(

1

2

)n，②
①-②，得：

1

2

Tn=1+

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-1-n•(

1

2

)n
=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n•(

1

2

)n
=2-（n+2）•（

1

2

）ⁿ
∴Tn=4-(2n+4)•(

1

2

)n．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．