Question

17．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=1，对于任意的x₁，x₂∈R（x₁≠x₂），都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$．
（1）解关于x的不等式f（x²-3ax）+f（2a²）＜0；
（2）若f（x）≤m²-2am+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x²-3ax）+f（2a²）＜0变形为不等式f（x²-3ax）＜-f（2a²）=f（-2a²）⇒（x-2a）（x-a）＜0，分①当a＞0，②当a=0，③当a＜0 三种情况分别求解．
（2）由条件先判断函数的单调性，利用奇偶性和单调性的性质将不等式转化f（x）_min≤m²-2am+1成立，构造函数g（a）即可得到结论．

解答 解：（1）因为对于任意x₁，x₂∈[-1，1]，x₁≠x₂，总有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$．
所以函数f（x）在[-1，1]上是递增的奇函数，
不等式f（x²-3ax）+f（2a²）＜0变形为不等式f（x²-3ax）＜-f（2a²）=f（-2a²）
∴x²-3ax+2a²＜0⇒（x-2a）（x-a）＜0
①当a＞0时，不等式解集为：{x|a＜x＜2a}；
②当a=0时，不等式解集为：∅；
③当a＜0时，不等式解集为：{x|2a＜x＜a}；
（2）所以函数f（x）在[-1，1]上是增函数，且f（x）_max=f（1）=1．
所以问题转化为t²-2αt-1≥f（x）_max=f（1）=1对任意的α∈[-1，1]恒成立．
令g（α）=m²-2αm+1，α∈[-1，1]．
只需$\left\{\begin{array}{l}{g（1）={m}^{2}-2m+1≥1}\\{g（-1）={m}^{2}+2m+1≥1}\end{array}\right.$
解得：m=0，或≥2或m≤-2
∴实数m的取值范围为：{m|m=0，或≥2或m≤-2}

点评 本题考查了函数的单调性本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件判断函数的单调性是解决本题的关键，综合考查函数的性质．，以及利用函数思想解决不等式恒成立问题的基本思路，属于中档题．