Question

【题目】已知函数．

(1)若，求证：在区间是增函数；

(2)设，若对任意的，恒有，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）当时， ，求函数的导数并判断单调性，说明在区间是增函数；

（2）首先判断函数的单调性，并且判断函数只有最小值，无最大值，若满足条件，即，转化为求的最小值，并且用表示.

（1）当，．则.

当，由函数单调性的性质可知，为上的增函数.

所以，当时，.

所以在区间是增函数.

（2）由题，则

令，则为上的增函数.

当；当；

所以必然存在，使得，即.

当，，即，所以为减函数.

当，，即，所以为增函数.

所以，无最大值.

此外，因为，所以.

令，则就有.

又，当，，所以为上的增函数.

因为，且，.所以必然有.

此时，.

又任意的，恒有，

所以，即.