Question

【题目】为了丰富学生活动，在体育课上，体育教师设计了一个游戏，让甲、乙、丙三人各抓住橡皮带的一端，甲站在直角斜边的中点处，乙站在处，丙站在处.游戏开始，甲不动，乙、丙分别以和的速度同时出发，匀速跑向终点和，运动过程中绷紧的橡皮带围成一个如图所示的.（规定：只要有一人跑到终点，游戏就结束，且）.已知长为，长为，记经过后的面积为.

（1）求关于的函数表示，并求出的取值范围；

（2）当游戏进行到时，体育教师宣布停止，求此时的最小值.

Answer 1

【答案】（1），其中时，，时，.（2）最小值为

【解析】

（1）求出路程，从而可得，由勾股定理得，以为轴建立平面直角坐标系，可得直线的方程，求出到直线的距离，即的高，从而可表示出其面积.计算两人分别走到所用时间，比较它们的大小，可得的取值范围.

（2）由（1）得，利用导数求出其最小值.

解：以为坐标原点，

分别以、为、轴建立直角坐标系，

，则，

，则，

为中点，则，

秒后，，，

，

直线方程为：，

，

到距离，

∴，

，即，则，

，即，则，

，

当时，，

当时，，

∴，

其中时，，

时，.

（2）∵，

∴，

，

令得，

当时，，为单调递减，

当时，，为单调递增，

∴当时取最小值，

此时，

答：此时最小值为.