Question

【题目】已知函数.

（1）求当时，在点处的切线方程；

（2）若关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求出导数，求出及的值，代入点斜式方程即可得到答案；（2）对函数进行求导，令，求出，可得在上单调递减，故而可得存在，使得，通过单调性与最值的关系可得有最大值，令，求导判断的单调性，可得出，根据即可得到的取值范围.

解：（1）当时，因为，

所以，所以，

又，

所以在点处的切线方程为，

即．

（2）由（1）知，令，

则，所以在上单调递减．

由于，，

则存在，使得，

即．

又，，则，

所以在上单调递增，

，，则，所以在上单调递减，

所以在处有最大值，

由恒成立得，即，

所以．

令，则，

所以函数在上单调递增．

由于，则，解得，所以，

由在上单调递增，所以，

所以实数的取值范围为．