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    【题目】已知，函数，且曲线在处的切线与直线垂直.

    （I）求函数在区间上的极大值；

    （II）求证：当时，

    【答案】(I）极大值； (II)证明见解析

    【解析】

    （I）先根据条件解出，代入解析式可得，求导分析单调性即可求出极大值. （II）转化得到，对不等式两边分别求最值比较大小.

    （I）由题意，得直线的斜率为，

    即曲线在处的切线的斜率为，函数的导数，

    所以，解得

    所以 ，

    ，所以，当时，；

    当 时， ；当 时， ；

    所以函数 在区间上单调递增，在区间上单调递减，

    所以函数在区间上有唯一的极大值

    （Ⅱ）由题得，即证明 ，

    设，得 ，

    当时，，所以函数在区间上单调递增，

    当时，，所以函数在区间 上单调递减，

    所以当 时，取最大值 ，

    再令 ，则 ，

    所以

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