Question

【题目】已知三棱锥中，为等腰直角三角形，，设点为中点，点为中点，点为上一点，且．

（1）证明：平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】

（1）连接交于点，连接，通过证，并说明平面，来证明平面

（2）采用建系法以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，分别表示出对应的点坐标，设平面的一个法向量为，结合直线对应的和法向量，利用向量夹角的余弦公式进行求解即可

证明：如图，

连接交于点，连接，点为的中点，点为的中点，

点为的重心，则，，，

又平面，平面，平面；

，，，，

，，可得，又，

则以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，．

设平面的一个法向量为，由，

取，得．设直线与平面所成角为，

则．直线与平面所成角的正弦值为．