Question

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
sin²45°+cos²70°+sin45°cos75°
sin²15°+cos²45°+sin15°cos45°
sin²36°+cos²66°+sin36°cos66°
sin²（-15°）+cos²15°+sin²（-15°）cos15°
sin²（-45°）+cos²（-15°）+sin（-45°）cos（-15°）
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

Answer 1

考点：三角函数恒等式的证明,归纳推理

专题：三角函数的求值

分析：（1）选择sin²（-15°）+cos²15°+sin（-15°）cos15°计算可得常数；（2）由式子的规律推广为sin²α+cos²（

π

6

+α）+sinαcos（

π

6

+α）=

3

4

，由三角函数的公式证明即可．

解答： 解：（1）∵五个式子的值都等于同一个常数，
∴选择sin²（-15°）+cos²15°+sin（-15°）cos15°计算
可得常数=sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°
=1-

1

2

sin30°=1-

1

4

=

3

4

．
（2）由式子的规律推广为sin²α+cos²（

π

6

+α）+sinαcos（

π

6

+α）=

3

4

．
下面证明：式子左边=sin²α+（

3

2

cosα-

1

2

sinα）²+sinα（

3

2

cosα-

1

2

sinα）
=sin²α+

1

4

sin²α+

3

4

cos²α-

3

2

sinαcosα+

3

2

sinαcosα-

1

2

sin²α
=

3

4

sin²α+

3

4

cos²α=

3

4

（sin²α+cos²α）=

3

4

=右边
原命题得证．

点评：本题考查三角函数恒等式的证明，涉及归纳推理的应用，属基础题．