Question

已知：函数f（x）=

1

2

（sinx+|sinx|），x∈R
（1）求函数f（x）的周期T，与单调增区间．
（2）函数y=f（x）与y=lgx的图象有几个公共交点．
（3）设关于x的函数g（x）=-2sin²x-2acosx-2a+1的最小值为h（a），试确定满足h（a）=

1

2

的a的值，并对此时的a值求g（x）的最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）=

sinx，2kπ≤x≤2kπ+π 0，2kπ＜x＜2kπ+2π

，k∈Z，结合图象可得周期和单调区间；
（2）作函数y=f（x）与y=lgx的图象，数形结合可得；
（3）变形可得g（x）=2cos²x-2acosx-（2a+1），令cosx=t，可得t∈[-1，1]，换元可得y=2t²-2at-（2a+1），由二次函数区间的最值可得．

解答： 解：（1）f（x）=

1

2

（sinx+|sinx|）
=

sinx，sinx≥0 0，sinx＜0

=

sinx，2kπ≤x≤2kπ+π 0，2kπ＜x＜2kπ+2π

，k∈Z，
∴函数f（x）的周期T=2π
函数f（x）的增区间：[2kπ，2kπ+

π

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]；
（2）作函数y=f（x）与y=lgx的图象，从图象可以看出函数y=f（x）与y=lgx的图象有三个交点；

（3）g（x）=-2sin²x-2acosx-2a+1=2cos²x-2acosx-（2a+1），
令cosx=t，可得t∈[-1，1]，
换元可得y=2t²-2at-（2a+1），可看作关于t的二次函数，
图象为开口向上的抛物线，对称轴为t=

a

2

，
当

a

2

＜-1，即a＜-2时，[-1，1]是函数g（x）的递增区间，gmin=1≠

1

2

；
当

a

2

＞1，即a＞2时，[-1，1]是函数y的递减区间，gmin=-4a+1=

1

2

，得a=

1

8

，与a＞2矛盾；
当-1≤

a

2

≤1，即-2≤a≤2时，gmin=-

a2

2

-2a-1=

1

2

，变形可得a²+4a+3=0，
解得a=-1或a=-3（舍去）
综上可得满足h（a）=

1

2

的a的值为-1，
此时g（x）的最小值为

1

2

点评：本题考查三角函数恒等变形，涉及数形结合以及分类讨论的思想，属中档题．