Question

已知函数f（x）=3x²+12x-15．
（1）求f（x）的零点；（2）求f（x）在[-3，3]上的最值；（3）证明f（x）在[-2，+∞）上是增函数．

Answer 1

解：（1）令f（x）=3x²+12x-15=0
得：x=-5或x=1
∴f（x）的零点为-5，1．
（2）f（x）=3x²+12x-15=3（x²+4x-5）=3（x+2）²-27，
f（x）对称轴为x=-2，
∴f（x）在[-3，3]上的最小值为f（-2）=-27，
最大值为f（3）=48；
（3）设x₁，x₂∈[-2，+∞）且x₁＜x₂
则f（x₂）-f（x₁）=3（x₂²-x₂¹）+12（x₂-x₁）
=3（x₂-x₁）（x₂+x₁+4）
∵x₁，x₂∈[-2，+∞）且x₁＜x₂
∴x₂-x₁＞0，x₂+x₁+4＞0
∴3（x₂-x₁）（x₂+x₁+4）＞0
∴f（x₂）-f（x₁）＞0
∴f（x）在[-2，+∞）上是增函数．
分析：（1）求零点时使f（x）=3x2+12x-15=0即可（2）二次函数定区间上求最值主要看对称轴与区间端点的关系（3）可以用函数单调性的定义判断函数的单调性．
点评：函数是高中数学的主线，它贯穿整个高中教学，函数的性质是历年高考考查的重点，其性质包括单调性，最值，奇偶性，周期性等性质．