(本小题满分14分)
已知椭圆的中心是坐标原点,焦点在x轴上,离心率为,又椭圆上任一点到两焦点的距离和为,过点M(0,)与x轴不垂直的直线交椭圆于P、Q两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)在y轴上是否存在定点N,使以PQ为直径的圆恒过这个点?若存在,求出N的坐标,若不存在,说明理由.
(1) (2)先假设存在,联立方程组,利用·可以求出存在
N(0,1)满足要求
解析试题分析:(1)因为离心率为,又,∴a=,c=1,
故b=1,故椭圆的方程为. ……4分
(2)由题意设直线的方程为y=kx-,
联立方程得(2k2+1)x2-kx-=0,
设P(x1, y1),Q(x2, y2),
则x1+x2=,x1·x2=, ……8分
假设在y轴上存在定点N(0,m)满足题设,则
,,
·= x1x2+(y1-m)(y2-m)= x1x2+ y1y2-m(y1+y2) +m2
= x1x2+(kx1-)( kx2-)-m(kx1-+ kx2-) +m2
=(k2+1) x1x2-k(+m)(x1+x2)+m2+m+
=-k(+m)+m2+m+
=, ……12分
由假设得对于任意的k∈R,·=0恒成立,
即解得m=1,
因此,在y轴上存在定点N,
使得以PQ为直径的圆恒过这个点,点N的坐标为(0,1). ……14分
考点:本小题主要考查椭圆的标准方程的求解,直线与椭圆的位置关系的判定和应用、韦达定理和向量数量积的运算和应用,考查学生的运算求解能力和数形结合思想的应用.
点评:对于探究性问题,一般是先假设存在,然后计算,如果能求出,则说明存在,如果求不出或得出矛盾,则说明不存在.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分13分)已知椭圆C1:的离心率为,直线l: y-=x+2与.以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切.
(1)求椭圆C1的方程;
(ll)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l2过点F价且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直于l1,垂足为点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程;
(III)过椭圆C1的左顶点A作直线m,与圆O相交于两点R,S,若△ORS是钝角三角形, 求直线m的斜率k的取值范围.
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(本题12分)直线l:y=kx+1与双曲线C:的右支交于不同的两点A,B.
(Ⅰ)求实数k的取值范围;
(Ⅱ)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
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(本题满分12分)如图,在平面直坐标系中,已知椭圆,经过点,其中e为椭圆的离心率.且椭圆与直线 有且只有一个交点。
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设不经过原点的直线与椭圆相交与A,B两点,第一象限内的点在椭圆上,直线平分线段,求:当的面积取得最大值时直线的方程。
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(本小题满分14分)设椭圆与抛物线的焦点均在轴上,的中心和的顶点均为原点,从每条曲线上至少取两个点,将其坐标记录于下表中:
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(本小题满分15分) 已知动圆过定点,且与直线相切,椭圆 的对称轴为坐标轴,一个焦点是,点在椭圆上.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹的方程及其椭圆的方程;
(Ⅱ)若动直线与轨迹在处的切线平行,且直线与椭圆交于两点,问:是否存在着这样的直线使得的面积等于?如果存在,请求出直线的方程;如果不存在,请说明理由.
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(本小题满分12分)已知椭圆上的任意一点到它的两个焦点, 的距离之和为,且其焦距为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知直线与椭圆交于不同的两点A,B.问是否存在以A,B为直径
的圆 过椭圆的右焦点.若存在,求出的值;不存在,说明理由.
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