Question

7．如图，过圆E外一点A作一条直线与半径为2的圆E交于B，C两点，且$AB=\frac{1}{3}AC$，作直线AF与圆E相切于点F，连接EF交BC于点D，∠EBC=30°．　
（1）求AF的长；
（2）求证：AD=3ED．

Answer 1

分析 （1）延长BE交圆E于点M，连接CM，利用切割线定理转化求解AF即可．
（2）过E作EH⊥BC于H，通过△EDH～△ADF，转化求解即可．

解答 解：（1）延长BE交圆E于点M，连接CM，则∠BCM=90°，
又BM=2BE=4，∠EBC=30°，所以$BC=2\sqrt{3}$，
又$AB=\frac{1}{3}AC$，可知$AB=\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}$．
所以，$A{F^2}=AB•AC=\sqrt{3}•3\sqrt{3}=9$，即AF=3…（6分）
（2）证明：过E作EH⊥BC于H，则△EDH～△ADF，EH=2sin30°=1，
从而有$\frac{ED}{AD}=\frac{EH}{AF}=\frac{1}{3}$，因此AD=3ED…（10分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系，切割线定理以及相似三角形的应用，考查计算能力．