Question

19．函数$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}\frac{x^2}{x-1}$的最大值是-2．

Answer 1

分析 求出函数的定义域，根据函数的单调性求出f（x）的最大值即可．

解答 解：令$\frac{{x}^{2}}{x-1}$＞0，解得：x＞1，
故f（x）的定义域是（1，+∞），
令g（x）=$\frac{{x}^{2}}{x-1}$，x∈（1，+∞），
g′（x）=$\frac{x（x-2）}{{（x-1）}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞2，
令g′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
故g（x）在（1，2）递减，在（2，+∞）递增，
故f（x）在（1，2）递增，在（2，+∞）递减，
故f（x）_max=f（2）=-2，
故答案为：-2．

点评 本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．