Question

设f（x）=x²+2ax-3．
（1）若f（a+1）-f（a）=9，求a值；
（2）若当a∈[-1，1]时，f（x）＞0恒成立，试求x的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）直接由f（a+1）-f（a）=9列式求a的值；
（2）把f（x）＞0看作关于a的一次不等式，然后由a在区间[-1，1]的两个断点处的函数值大于0列不等式组求解x的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）=x²+2ax-3，由f（a+1）-f（a）=9，得
（a+1）²+2a（a+1）-a²-2a²=9，即4a=8，a=2；
（2）令g（a）=2xa+x²-3，
当x=0时，有g（a）=-3＜0，不合题意；
当x≠0时，依题意有：

g(-1)＞0 g(1)＞0

，即

x2-2x-3＞0① x2+2x-3＞0②

，
解①得：x＜-1或x＞3；
解②得：x＜-3或x＞1．
∴x＜-3或x＞3．
综上所述，x的取值范围是（-∞，-3）∪（3，+∞）．

点评：本题考查了函数恒成立问题，更换“主元”是解答该题的关键，是中档题．