Question

8．已知函数f（x）=3klnx+$\frac{2{k}^{2}-{x}^{2}}{x}$（k为常数，k＞0）．
（1）当k=1时，求f（x）的极值；
（2）若k∈[3，+∞），曲线y=f（x）上总存在相异两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），使得曲线y=f（x）在M，N两点处的切线互相平行，求x₁+x₂的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（2）求出函数的导数，根据f′（x₁）=f′（x₂），得到x₁+x₂=$\frac{3}{2k}$x₁x₂，结合不等式的基本性质，求出其范围即可．

解答 解：（1）k=1时，f（x）=3lnx-x+$\frac{2}{x}$，（x＞0），
f′（x）=-$\frac{（x-1）（x-2）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：1＜x＜2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1或x＞2，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，2）递增，在（2，+∞）递减，
∴f（x）_极小值=f（1）=1，f（x）_极大值=f（2）=3ln2-1；
（2）∵f′（x）=$\frac{3k}{x}$-1-$\frac{{2k}^{2}}{{x}^{2}}$，k∈[3，+∞），
由题意，可得f′（x₁）=f′（x₂）（x₁，x₂＞0，且x₁≠x₂），
∴$\frac{3k}{{x}_{1}}$-1-$\frac{{2k}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{3k}{{x}_{2}}$-1-$\frac{{2k}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}}$，
∴x₁+x₂=$\frac{3}{2k}$x₁x₂≤$\frac{3}{2k}$${（\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}）}^{2}$，
∴x₁+x₂＞$\frac{8k}{3}$≥8，
故x₁+x₂的取值范围是（8，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及不等式的性质，是一道中档题．