Question

18．如图，在四棱锥S-ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点，Q为SB的中点．
（1）求证：PQ∥平面SCD；
（2）求证：；CD⊥SA
（3）若SA=SD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）取SC的中点R，连QR，DR．推出PD=$\frac{1}{2}$BC，QR∥BC且QR=$\frac{1}{2}$BC．然后证明四边形PDRQ为平行四边形，即可证明PQ∥平面SCD．
（2）证明CD⊥AD，然后证明CD⊥平面SAD，即可证明结论；
（3）存在点N为SC中点，使得平面DMN⊥平面ABCD．连接PC、DM交于点O，连接PM、SP，证明NO∥SP，NO⊥平面ABCD，然后证明平面DMN⊥平面ABCD．

解答 证明：（1）取SC的中点R，连QR，DR．
由题意知：PD∥BC且PD=$\frac{1}{2}$BC．
在△SBC中，Q为SB的中点，R为SC的中点，
所以QR∥BC且QR=$\frac{1}{2}$BC．
所以QR∥PD且QR=PD，
则四边形PDRQ为平行四边形．
所以PQ∥DR．又PQ?平面SCD，DR?平面SCD，
所以PQ∥平面SCD．…（4分）
（2）因为四边形ABCD为正方形，则CD⊥AD．
又平面SAD⊥平面ABCD，
且面SAD∩面ABCD=AD，
所以CD⊥平面SAD，
所以CD⊥SA．…（8分）
解：（3）N为SC的中点连接PC、DM交于点O，连接PM、SP，
因为PD∥CM，并且PD=CM，
所以四边形PMCD为平行四边形，所以PO=CO．
又因为N为SC中点，
所以NO∥SP．…（12分）
因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，并且SP⊥AD，
所以SP⊥平面ABCD，
所以NO⊥平面ABCD，…（13分）
又因为NO?平面DMN，
所以平面DMN⊥平面ABCD．…（14分）

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力．