Question

7．设函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$-$\frac{m}{x}$（其中m为实数，e是自然对数的底数）
（1）若f（x）在x=2处取得极值，求f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若x∈（0，+∞）时方程f（x）=0有实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，代入f′（2）=0，求出m的值，从而求出切线方程即可；
（2）问题转化为y=e^x和y=mx在（0，+∞）有交点，通过讨论m的范围，结合曲线的切线方程求出m的具体范围即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$-$\frac{m}{x}$，f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{{x}^{3}}$+$\frac{m}{{x}^{2}}$，
若f（x）在x=2处取得极值，则f′（2）=$\frac{m}{4}$=0，
解得：m=0，
∴f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{{x}^{3}}$，
f（1）=e，f′（1）=-e，
故切线方程是：y-e=-e（x-1），即：ex+y-2e=0；
（2）若x∈（0，+∞）时方程f（x）=0有实数根，
即方程e^x=mx在（0，+∞）有实数根，
即y=e^x和y=mx在（0，+∞）有交点，
显然m≤0时，无交点，
m＞0时，若y=e^x和y=mx相切，设切点是（x₀，${e}^{{x}_{0}}$），
故切线的斜率m=k=${e}^{{x}_{0}}$，
则得到${e}^{{x}_{0}}$=${e}^{{x}_{0}}$x₀，解得：x₀=1，
∴m=k=${e}^{{x}_{0}}$=e，
故m≥e．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的极值以及函数交点问题，是一道中档题．