Question

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，x轴在地平面上，y轴垂直于地面，x轴、y轴上的单位长度都为1km，某炮位于坐标原点处，炮弹发射后，其路径为抛物线y=kx-$\frac{1}{20}（1+{k^2}）{x^2}$的一部分，其中k与炮弹的发射角有关且k＞0．
（1）当k=1时，求炮弹的射程；
（2）对任意正数k，求炮弹能击中的飞行物的高度h的取值范围；
（3）设一飞行物（忽略大小）的高度为4km，试求它的横坐标a不超过多少km时，炮弹可以击中它．（答案精确到0.1，$\sqrt{5}$取2.236）

Answer 1

分析 （1）当k=1时，炮弹发射路径为$y=x-\frac{1}{10}{x^2}$，求出函数的零点，可得答案；
（2）根据二次函数的性质，求出最大高度的表达式，利用配方法可得h的取值范围；
（3）炮弹可以击中目标可化为：关于k的方程a²k²-20ak+a²+80=0有正解，由韦达定理，可得a的范围．

解答 解：（1）当k=1时，
炮弹发射路径为$y=x-\frac{1}{10}{x^2}$，
令y=0，解得x=0或10，
∴炮弹的射程为10km．…（4分）
（2）抛物线$y=kx-\frac{1}{20}（1+{k^2}）{x^2}（k＞0）$开口向下，
对称轴$x=-\frac{k}{{-\frac{1}{10}（1+{k^2}）}}=\frac{10k}{{1+{k^2}}}$，
∴${y_{max}}=-\frac{1}{20}（1+{k^2}）{（\frac{10k}{{1+{k^2}}}）^2}+k（\frac{10k}{{1+{k^2}}}）=\frac{{5{k^2}}}{{1+{k^2}}}=5-\frac{5}{{1+{k^2}}}＜5$，
∴炮弹能击中的飞行物的高度h的范围是（0，5）．                         …（9分）
（3）∵飞行物的高度为4km，它的横坐标a，
∴$4=ka-\frac{1}{20}（1+{k^2}）{a^2}$，
整理得关于k的方程a²k²-20ak+a²+80=0有正解，…（11分）
显然a=0不满足方程a²k²-20ak+a²+80=0，
∴${k_1}+{k_2}=\frac{20}{a}$，${k_1}{k_2}=\frac{{{a^2}+80}}{a^2}＞0$，
当a＜0，k₁，k₂＜0，不符题意，
∴a＞0，k₁，k₂＞0…（13分）
∴△=400a²-4a²（a²+80）≥0，解得$0＜a≤2\sqrt{5}$，
∴飞行物的横坐标a不超过$2\sqrt{5}$km，约4.5km．                       …（16分）
（说明：过程不严密的适当扣分）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．